Pengikut

Selasa, 17 April 2012

sistem persamaan linear


Sistem Persamaan Linear dan Kuadrat Dua Variabel [SPLKDV]
SPLKDV dengan variable x dan y secara umum berbentuk :
y  = ax + b
y  = px2 + qx + r
Dengan a,b,p,q,r є R
SPLKDV diatas dapat ditulis dalam bentuk persamaan
 px2 + ( q – a)x + ( r – b ) = 0
SPLKDV ini mempunyai tiga kemungkinan penyelesaian ;
1.      Memiliki dua penyelesaian , yaitu ( secara geometris ) garis memotong kurva di dua titik , yaitu jika diskriminan persamaan kuadrat px2 + ( q – a)x + ( r – b ) = 0 lebih besar dari 0 ( D >0)
2.      Memiliki satu penyelesaian , yaitu ( secara geometris )garis menyinggung  kurva di satu titik, jika diskriminan persamaan kuadrat px2 + ( q – a)x + ( r – b ) = 0 sama dengan 0 ( D=0)
3.      Tidak memiliki penyelesaian , yaitu ( secara geometris ) garis dan kurva tidak berpotongan / menyinggung , jika diskriminan persamaan kuadrat px2 + ( q – a)x + ( r – b ) = 0 kurang dari 0 (D<0).
Sistem Persamaan Kuadrat (SPK)
SPK dengan variabel  x dan y secara umum dinyatakan dalam bentuk ;
            y  = ax2 + bx + c
            y  = px2 + qx + r
Dengan a,b,c,p,q,r єR
Penyelesaian SPK dapat diperoleh dengan metode grafik atau metode eleminasi-substitusi. Ada empat kemungkinan penyelesaian bagi SPK :
1.      Penyelesaian tunggal , yaitu kedua kurva persamaan kuadrat itu saling menyinggung, yaitu jika diskriminan persamaan kuadrat  y = (a – p )x2 + (b – q )x + ( c – r ) sama dengan 0 (D=0).
2.      Dua penyelesaian , yaitu kedua parabola saling berpotongan di dua titik , yaitu jika diskriminan persamaan kuadrat  y = (a – p )x2 + (b – q )x + ( c – r ) lebih dari 0 ( D > 0)
3.      Tak ada penyelesaian , yaitu kedua parabola saling lepas , jika diskriminan persamaan kuadrat    y = (a – p )x2 + (b – q )x + ( c – r ) kurang dari 0 (D < 0)
4.      Tak hingga penyelesaian , yaitu kedua parabola berimpit, jika a = p, b= q, c= r.

SPL dan Bentuk Aljabar Berderajat Dua dengan Dua Variabel
SPL dan bentuk akjabar berderajat dua dengan dua variabel memiliki bentuk umum:
                            ax + by = c
                           px2 + qy2 + rxy + sx + ty = u
Dengan a,b,c,q,r,s,t,u є R,
Contoh :
2x – 3y = 4
2x2 - 3xy – 2y2 = 12
Menentukan penyelesaian bentuk ini berarti mencari  x dan y yang memenuhi kedua persamaan sekaligus metode eliminasi –substitusi  atau metode grafik.





Soal-soal  Latihan
1.      Nilai x yang memenuhi system persamaan
5x + 3y = 7
3x – 5y = -23
Adalah……
A.    -4                                                               D. 4
B.     -1                                                               E. 8
C.     1
Jawab : 5x+3y=7         à dikali 3
            3x-5y= -23      àdikali  5
 Menjadi : 15x+9y=21                                                5x+3y=7à5x+3(4)=7
                15x-25y= -115  -                                                    5x=7-12
                        34y= 136                                                            x=1
                          y  = 136/34
                           y = 4
2.      Himpunan penyelesain system persamaan
2x+3y-6=0
x +2y-4=0
Adalah{(x,y)}. Nilai dsari (x+y)2=…….
A.    0                                                                D. 9
B.     1                                                                E. 16
C.     4
Jawab: 2x+3y=6àdikali 1              x+2y=4àx+2(2)=4
            X+2y=4àdikali 2                                        x = 4-4   
Menjadi : 2x+3y=6                                                x=0
               2x +4y=8 -
                        y = 2                            jadi : (x+y)2= x2+2xy+y2                                               
                                                                              = (0)2+2.0.2+(2)2
                                                                              = 4


3.      Himpunan penyelesain system persamaan
1/2 x-y= -7
1/3 x+1/2 y=0
Adalah {(x,y)}. Nilai x + y=…….
A.    – 10                                                           D. 2
B.     -2                                                               E. 10
C.     0
Jawab :   1/2 x-y= -7 à dikali 1/2
               1/3 x+1/2 y=0à dikali 1


Menjadi : ¼ x – ½ y = - 7/2                ½ x – y    = - 7
               1/3 x + ½ y = 0  +                 ½ (-6) – y =-7
                        7/12 x = - 7/2                           y   =4
                               x  = -6                   jadi : x + y = -6 + 4
                                                                            = -2

4.      Nilai x yang memenuhi system persamaan
1/x + y = 5
5/x – 2y = -3
Adalah…….                                                  
A.    1                                                                D. 5
B.     3                                                                E. 7
C.     4
Jawab :   1/x + y = 5    àdikali 2
               5/x – 2y = -3àdikali 1
 Menjadi : 2/x + 2y = 10
               5/x – 2y = -3 +
                         7/x = 7
                              x = 1


5.      Himpunan penyelesaian system persamaan
x + 2y – z = 3
2x – y + 2z = 11
3x + 2y + z = 17
Adalah {(x,y,z)}. Nilai dari xyz =………..
A.     6                                                               D. 30
B.     10                                                              E. 60
C.     15
Jawab:    i.  x + 2y – z = 3     àdikali 2                                  ii. 2x-y+2z=11 à dikali 1
                   2x – y + 2z = 11 àdikali 1                                      3x+2y+z=17 àdikali 2
Menjadi : 2x +4 y -2z = 6                               menjadi: 2x-y+2z=11
               2x -y + 2z = 11  -                                            6x+4y + 2 z=34  -
               4x + 3y = 17                                                 - 4x – 5y = - 23

Jadi:       4x+3y=17                            4x+3y=17 à 4x+3(3)=17       x+2y-z=3
               -4x – 5y=-23 +                                             4x = 17-9         2+6-z=3
                          -2y= -6                                                 x =8/4                   -z=3-6-2
                             y = 3                                                 x=2                        z = 5
x.y.z=3.2.5
          = 30
6.      Himpunan penyelesaian system persamaan
3x + 4z = 5
2y – z = 10
x + y = 5
Adalah {(x,y,z)}. Nilai dari ( 2x + y + z)=……
A.     – 10                                                          D. 30
B.     -6                                                               E. 60
C.     6
Jawab :   3x +4z = 5 à dikali 1                      3x + 8y = 45 à dikali 1
               2y – z = 10 àdikali 4                      x + y = 5 à dikali 3

Menjadi : 3x + 4z = 5                                      3x + 8y = 45
                8y – 4z = 40 +                                 3x + 3y = 15 -       
               3x + 8y = 45                                             5y = 30
                                                                                 y= 6
x + y = 5 à x + 6 = 5                         2y – z = 10 à 12 – z = 10     
                            x = -1                                                       z = 2

( 2x + y + z ) = 2(-1) + 6 + 2
                      = 6
7.      Nilai yang memenuhi system persamaan
x2 – y2 = 9
x = 5
adalah…….
A.    -4                                                               D.-4 atau 4
B.     4                                                                E. -16 atau 16
C.     16

8.      Nilai y yang memenuhi system persamaan
y = x + 1
y = x2 – 4x + 5
adalah……
A.    1                                                                D. 5
B.     3                                                                E. 7
C.     4
9.      Himpunan penyelesaian system persamaan
y = x2 – 3x
y = 6x – 2x2
adalah {(x1,x1);(x2,y2)}. Nilai dari x1 + y1 +x2+y2 = ……
A.    -3                                                               D. 5
B.     0                                                                E. 9
C.     3
jawab : y1= x2 – 3x
             y2 = 6x – 2x2
             y1=y2
x2 - 3x = 6x - 2x2                                    x1 = 3 à y1 = 9 – 9 = 0
x2 - 3x - 6x - 2x2 = 0                      x2= 3 à y2 = 18 – 18 = 0
3x2 – 9x = 0                                   x2 = 0 à y1=0
3x ( x – 3)=0\                                                y2=0
3x = 0  atau x – 3 = 0
   x = 0                x = 3

x1 + y1 +x2+y2  = 0 + 0 + 3 + 0
                          = 3
10.  Nilai x yang memenuhi system persamaan
x2 – 2xy + y2 = 1
x – 3y + 7 = 0
adalah ……
A.    2                                                                D. 6
B.     3                                                                E. 9
C.     4

11.  Titik (2, - 1) terletak pada garis ax + by = 8 dan titik  ( 3,2) terletak pada garis ax + by = 5. Nilai a + b = …..
A.    -5                                                               D. 1
B.     -2                                                               E. 5
C.     -1
12.  Usia A sekarang 8 tahun lebih tua dari usia B, sedangkan 4 tahun yang lalu usia B sama dengan dua pertiga dari usia A. Usia B sekarang adalah ….
A.    14 tahun                                                    D. 25 tahun
B.     17 tahun                                                    E. 28 tahun
C.     20 tahun
jawab : A-B = 8 à A = 8 + B
         ( B – 4 ) = 2/3 ( A – 4 )
         3 ( B – 4) = 2(A-4)
         3B – 12 = 2A – 8
         3B – 12 = 2 ( 8 + B ) – 8
         3B – 12 = 16 + 2B – 8
         3B – 2B= 16 – 8 + 12
                    B= 20


13.  Di sebuah toko Ali membayar Rp. 2.700,00 untuk pembelian 3 barang A dan 4 barang B dan Budi membayar Rp3.600,00 untuk 6 barang A dan 2 barang b , Jika Chandra membeli 1 barang A dan 1 barang B , ia harus membayar …….
A.    Rp 540,00                                                 D. Rp 960,00
B.     Rp720,00                                                  E. Rp. 1.100,00
C.     Rp800,00
jawab :
i.              3A + 4B = 2700 à dikali 1
ii.            6A+ 2B = 3600 à dikali 2
                           3A + 4B = 2700                                           3A + 4B = 2700
                           12A + 4B= 7200   -                                      3(500)+4B=2700
                                  -9A = - 4500                                                      4B = 2700-1500
                                      A = 500                                                            B = 300
                           jadi Chandra harus membayar A + B = 500 + 300
                                                                                       = 800

Tidak ada komentar:

Poskan Komentar