Sistem
Persamaan Linear dan Kuadrat Dua Variabel [SPLKDV]
SPLKDV dengan variable
x dan y secara umum berbentuk :
y = ax + b
y = px2 + qx + r
Dengan a,b,p,q,r є R
SPLKDV diatas dapat
ditulis dalam bentuk persamaan
px2 + ( q – a)x + ( r – b ) = 0
SPLKDV ini mempunyai
tiga kemungkinan penyelesaian ;
1.
Memiliki dua penyelesaian , yaitu (
secara geometris ) garis memotong kurva di dua titik , yaitu jika diskriminan
persamaan kuadrat px2 + ( q – a)x + ( r – b ) = 0 lebih besar dari 0
( D >0)
2.
Memiliki satu penyelesaian , yaitu (
secara geometris )garis menyinggung
kurva di satu titik, jika diskriminan persamaan kuadrat px2 +
( q – a)x + ( r – b ) = 0 sama dengan 0 ( D=0)
3.
Tidak memiliki penyelesaian , yaitu (
secara geometris ) garis dan kurva tidak berpotongan / menyinggung , jika
diskriminan persamaan kuadrat px2 + ( q – a)x + ( r – b ) = 0 kurang
dari 0 (D<0).
Sistem
Persamaan Kuadrat (SPK)
SPK dengan
variabel x dan y secara umum dinyatakan
dalam bentuk ;
y = ax2
+ bx + c
y = px2
+ qx + r
Dengan a,b,c,p,q,r єR
Penyelesaian SPK dapat
diperoleh dengan metode grafik atau metode eleminasi-substitusi. Ada empat
kemungkinan penyelesaian bagi SPK :
1.
Penyelesaian tunggal , yaitu kedua kurva
persamaan kuadrat itu saling menyinggung, yaitu jika diskriminan persamaan
kuadrat y = (a – p )x2 + (b –
q )x + ( c – r ) sama dengan 0 (D=0).
2.
Dua penyelesaian , yaitu kedua parabola
saling berpotongan di dua titik , yaitu jika diskriminan persamaan kuadrat y = (a – p )x2 + (b – q )x + ( c –
r ) lebih dari 0 ( D > 0)
3.
Tak ada penyelesaian , yaitu kedua
parabola saling lepas , jika diskriminan persamaan kuadrat y = (a – p )x2 + (b – q )x + ( c
– r ) kurang dari 0 (D < 0)
4.
Tak hingga penyelesaian , yaitu kedua
parabola berimpit, jika a = p, b= q, c= r.
SPL
dan Bentuk Aljabar Berderajat Dua dengan Dua Variabel
SPL dan bentuk akjabar
berderajat dua dengan dua variabel memiliki bentuk umum:
ax
+ by = c
px2
+ qy2 + rxy + sx + ty = u
Dengan a,b,c,q,r,s,t,u
є R,
Contoh :
2x – 3y = 4
2x2 - 3xy –
2y2 = 12
Menentukan penyelesaian
bentuk ini berarti mencari x dan y yang
memenuhi kedua persamaan sekaligus metode eliminasi –substitusi atau metode grafik.
Soal-soal Latihan
1.
Nilai x yang memenuhi system persamaan
5x
+ 3y = 7
3x
– 5y = -23
Adalah……
A. -4 D.
4
B. -1 E.
8
C. 1
Jawab
: 5x+3y=7 à
dikali 3
3x-5y= -23 àdikali
5
Menjadi : 15x+9y=21 5x+3y=7à5x+3(4)=7
15x-25y= -115 -
5x=7-12
34y= 136
x=1
y =
136/34
y = 4
2.
Himpunan penyelesain system persamaan
2x+3y-6=0
x
+2y-4=0
Adalah{(x,y)}.
Nilai dsari (x+y)2=…….
A. 0 D.
9
B. 1 E.
16
C. 4
Jawab:
2x+3y=6àdikali
1 x+2y=4àx+2(2)=4
X+2y=4àdikali 2 x = 4-4
Menjadi
: 2x+3y=6 x=0
2x +4y=8 -
y = 2 jadi
: (x+y)2= x2+2xy+y2
= (0)2+2.0.2+(2)2
= 4
3. Himpunan
penyelesain system persamaan
1/2
x-y= -7
1/3
x+1/2 y=0
Adalah
{(x,y)}. Nilai x + y=…….
A.
– 10 D.
2
B.
-2 E.
10
C.
0
Jawab
: 1/2 x-y= -7 à
dikali 1/2
1/3 x+1/2 y=0à
dikali 1
Menjadi
: ¼ x – ½ y = - 7/2 ½ x – y
= - 7
1/3 x + ½ y = 0 + ½
(-6) – y =-7
7/12 x = - 7/2 y =4
x = -6 jadi
: x + y = -6 + 4
= -2
4. Nilai
x yang memenuhi system persamaan
1/x
+ y = 5
5/x
– 2y = -3
Adalah…….
A.
1 D.
5
B.
3 E.
7
C.
4
Jawab
: 1/x + y = 5 àdikali 2
5/x – 2y = -3àdikali
1
Menjadi : 2/x + 2y = 10
5/x – 2y = -3 +
7/x = 7
x = 1
5. Himpunan
penyelesaian system persamaan
x
+ 2y – z = 3
2x
– y + 2z = 11
3x
+ 2y + z = 17
Adalah
{(x,y,z)}. Nilai dari xyz =………..
A.
6 D.
30
B.
10 E.
60
C.
15
Jawab: i. x
+ 2y – z = 3 àdikali
2 ii. 2x-y+2z=11
à
dikali 1
2x – y + 2z = 11 àdikali
1 3x+2y+z=17 àdikali 2
Menjadi
: 2x +4 y -2z = 6 menjadi:
2x-y+2z=11
2x -y + 2z = 11 - 6x+4y + 2 z=34 -
4x + 3y = 17 -
4x – 5y = - 23
Jadi: 4x+3y=17 4x+3y=17
à
4x+3(3)=17 x+2y-z=3
-4x – 5y=-23 + 4x
= 17-9 2+6-z=3
-2y=
-6 x =8/4 -z=3-6-2
y = 3 x=2 z
= 5
x.y.z=3.2.5
= 30
6. Himpunan
penyelesaian system persamaan
3x
+ 4z = 5
2y
– z = 10
x
+ y = 5
Adalah
{(x,y,z)}. Nilai dari ( 2x + y + z)=……
A.
–
10 D.
30
B.
-6 E.
60
C.
6
Jawab
: 3x +4z = 5 à
dikali 1 3x + 8y = 45
à
dikali 1
2y – z = 10 àdikali
4 x + y = 5 à
dikali 3
Menjadi
: 3x + 4z = 5 3x
+ 8y = 45
8y – 4z = 40 + 3x + 3y = 15 -
3x + 8y = 45 5y = 30
y= 6
x
+ y = 5 à
x + 6 = 5 2y – z =
10 à
12 – z = 10
x = -1 z = 2
(
2x + y + z ) = 2(-1) + 6 + 2
= 6
7. Nilai
yang memenuhi system persamaan
x2
– y2 = 9
x
= 5
adalah…….
A.
-4 D.-4
atau 4
B.
4 E.
-16 atau 16
C.
16
8. Nilai
y yang memenuhi system persamaan
y
= x + 1
y
= x2 – 4x + 5
adalah……
A.
1 D.
5
B.
3 E.
7
C.
4
9. Himpunan
penyelesaian system persamaan
y
= x2 – 3x
y
= 6x – 2x2
adalah
{(x1,x1);(x2,y2)}. Nilai dari x1
+ y1 +x2+y2 = ……
A.
-3 D.
5
B.
0 E.
9
C.
3
jawab : y1=
x2 – 3x
y2 =
6x – 2x2
y1=y2
x2 - 3x = 6x
- 2x2 x1
= 3 à
y1 = 9 – 9 = 0
x2 - 3x - 6x
- 2x2 = 0 x2=
3 à
y2 = 18 – 18 = 0
3x2 – 9x = 0 x2 =
0 à
y1=0
3x ( x – 3)=0\ y2=0
3x = 0 atau x – 3 = 0
x = 0 x = 3
x1 + y1
+x2+y2 = 0 +
0 + 3 + 0
= 3
10. Nilai
x yang memenuhi system persamaan
x2
– 2xy + y2 = 1
x
– 3y + 7 = 0
adalah
……
A.
2 D.
6
B.
3 E.
9
C.
4
11. Titik
(2, - 1) terletak pada garis ax + by = 8 dan titik ( 3,2) terletak pada garis ax + by = 5. Nilai
a + b = …..
A.
-5 D.
1
B.
-2 E.
5
C.
-1
12. Usia
A sekarang 8 tahun lebih tua dari usia B, sedangkan 4 tahun yang lalu usia B
sama dengan dua pertiga dari usia A. Usia B sekarang adalah ….
A.
14 tahun D.
25 tahun
B.
17 tahun E.
28 tahun
C.
20 tahun
jawab : A-B = 8 à
A = 8 + B
( B – 4 ) = 2/3 ( A – 4 )
3 ( B – 4) = 2(A-4)
3B – 12 = 2A – 8
3B – 12 = 2 ( 8 + B ) – 8
3B – 12 = 16 + 2B – 8
3B – 2B= 16 – 8 + 12
B= 20
13. Di
sebuah toko Ali membayar Rp. 2.700,00 untuk pembelian 3 barang A dan 4 barang B
dan Budi membayar Rp3.600,00 untuk 6 barang A dan 2 barang b , Jika Chandra
membeli 1 barang A dan 1 barang B , ia harus membayar …….
A.
Rp 540,00 D. Rp 960,00
B.
Rp720,00 E.
Rp. 1.100,00
C.
Rp800,00
jawab :
i.
3A + 4B = 2700 à
dikali 1
ii.
6A+ 2B = 3600 à
dikali 2
3A + 4B = 2700 3A +
4B = 2700
12A + 4B= 7200 - 3(500)+4B=2700
-9A = - 4500 4B = 2700-1500
A = 500 B = 300
jadi Chandra harus
membayar A + B = 500 + 300
= 800
tolong jelaskan bentuk umum dari sistem persamaan linear dan bentuk aljabar berderajat dua dengan dua variabel....?
BalasHapus