contoh penyebaran data

Tugas I

Soal :

1. Buatlah data hasil ujian statistic 123 orang mahasiswa. Sajian dalam:P

a.       Data tunggal

b.      Distribusi frekuensi tanpa kelas interval

c.       distribusi dengan kelas interval ( Aturan sturgess)

Jawab:

1. a. Data Tunggal
   
   

95	83	95	41	83	85	53	41	30	53
83	30	67	77	25	59	83	34	93	77
34	59	85	98	41	100	77	83	77	25
98	83	59	41	100	34	48	67	53	53
48	67	21	85	48	85	53	48	67	98
30	85	48	59	77	21	85	34	98	30
83	34	95	67	34	75	48	100	67	41
53	95	41	77	100	30	77	77	59	59
67	21	75	67	59	75	59	75	67	41
41	53	95	25	93	95	75	48	75	67
83	67	67	85	48	59	75	75	98	59
59	30	67	59	98	34	75	59	59	30
41	59	48

b. Distribusi Frekuensi tanpa interval

Data diurut dari yang terkecil ke terbesar:

21	21		21	25		25	25	30	30	30	30
30	30		30	34		34	34	34	34	34	34
41	41		41	41		41	41	41	41	41	48
48	48		48	48		48	48	48	48	53	53
53	53		53	53		59	59	59	59	59	59
59	59		59	59		59	59	59	59	59	67
67	67		67	67		67	67	67	67	67	67
67	67		75	75		75	75	75	75	75	75
75	77		77	77		77	77	77	77	77	83
83	83		83	83		83	83	83	83	85	85
85	85		85	85		85	93	93	95	95	95
95	95		95	98		98	98	98	98	98	100
100	100		100
Nilai		Frekuensi
21		3
25		3
30		7
34		7
41		9
4		9
53		6
59		15
67		13
75		9
77		8
83		9
85		7
98		2
95		6
98		6
100		4

c.. Distribusi Frekuensi  dengan interval ( Aturan sturges)

Tentukan banyak kelas (k):

k = 1 + 3,3 log n

tentukan panjang kelas interval (i):

i = r/k

ket: r = nilai data terbesar – data terkecil

Maka:

k= 1+ 3,3 log 123

k= 1+3,3 (2,089)

k= 1+6,93

k=7,93 ( dibulatkan jadi 8)

jadi banyak kelas nya = 8

r = 100-21=79

i = 79/8

i = 9,86 (dibulatkan jadi 10)

jadi panjang kelas intervalnya = 10

Tabel distribusi dengan interval:

Interval Nilai	Frekuensi
21 – 30	13
31 – 40	7
41 – 50	18
51 – 60	21
61 – 70	13
71 – 80	17
81 – 90	16
91 – 100	18

ringkasan pohon(tree) dan hutan(forest), matematika diskrit

A. Pohon

A.1. Pohon(tree) dan Hutan(forest)

- Definisi pohon yaitu misal G adalah graf sederhana,maka G disebut pohon jika dan hanya jika G tidak memuat sirkuit dan G terhubung.

- Pohon semu(trivial tree)adalah pohon yang hanya terdiri dari satu titik.Pohon kosong (empty tree)adalah pohon yang tidak memiliki titik. Spanning tree yaitu sebuah pohon T yang dapat dibentuk,sedemikian hingga T merupakan sub graf dari G dan T memuat semua titik dari G.

- Definisi hutan yaitu jika dan hanya jika G tidak memiliki sirkuit.Hutan merupakan Graf yang tidak terhubung yang komponen –komponennya terdiri atas pohon.

- teorema 2.7:

jika G sebuah pohon dengan n titik,maka G memiliki (n-1) garis.

-Definisi:

misal T adalah pohon,daun(leaf/terminal vertex)adalah titik dalam T yang berderajat 1. Titik cabang adalah titik dalam T yang berderajat lebih dari 1.

A.2. Pohon Berakar dan Pohon Biner

Ø  Pohon Berakar :

Definisi: Pohon Berakar (rooted tree) adalah pohon dimana ada satu titik yang dikhususkan dari titik lain dan titik itu disebut akar(root)

Tingkat(level) adalah banyaknya garis antara titik tersebut dengan akar.Tinggi (Height) pohon adalah tinggi maksimum yang dimiliki oleh titik-titik pohon. Anak (children) dari titik v adalah semua titik yang berhubungan langsung dengan v,tetapi memiliki tingkat yang lebih tinggi dari v(berada dibawah v),v disebut orang tua (parent) u. Saudara (sibling) adalah dua titik atau lebih yang memiliki orang tua sama.

Ø  Pohon Biner

Definisi: Pohon Biner (binary tree) adalah pohon berakar yang setiap titiknya memiliki banyak  2 anak.yang disebut anak kanan dan anak kiri.

Pohon biner penuh adalah pohon biner yang setiap titiknya memiliki tepat 2 anak.

-          Maksimum jumlah titik

T adalah pohon biner penuh,maka:

pada tingkat 0(akar) ada 1(2⁰) titik, pada titik 1 ada 2(2¹),…..,pada tingkat n ada 2ⁿ titik

jadi keseluruhan jumlah titik adalah 2⁰+2¹+…+2ⁿ, dengan rasio 2,sehingga jumlahnya

a(r^k-1)/r-1=2ⁿ⁺¹-1/2-1=2ⁿ⁺¹-1 dimana k=n+1

-          maksimum jumlah daun

daun adalah titik-titik pada tingkat tertinggi,yaitu n, sehingga maksimum jumlah daun=2ⁿ

-          maksimum jumlah cabang

jumlah titik                                 = jumlah daun T + jumlah titik cabang T

2ⁿ⁺¹-1                                             = 2ⁿ        + Jumlah titik cabang T

jumlah titik cabang T               =(2ⁿ⁺¹-1)-2ⁿ

                                                                                    = 2ⁿ-1

-          maksimum jumlah garis

pohon dengan n titik memiliki (n-1)garis.sehingga pohon yang memiliki 2ⁿ-1 buah titik memiliki  2ⁿ⁺¹-1-1         = 2ⁿ⁺¹-2 buah garis.

2. a. Batas bawah dari {a,b}={c,d,e}

b. Batas bawah dari {a,c}={d,e}

c.impimum dari {a,b}={c,d}

d. Impimum dari {a,c}={e}

4. a. Jika Graf A(graf pertama) merupakan graf Hamilton,maka akanmemiliki sifat:

                - B adalah sub graf yang memuat semua titik dari A ( ada 7 titik)

                -jumlah garis sama dengan jumlah titik yaitu 7

                - semua garis dalam B berderajat 2

namun ternyata ada titik yang berderajat 4 sebanyak 3 titik dan berderajat 6 sebanyak 1 titik,sehingga harus menghilangkan 10 garis sekaligus dalam A. Padahal jumlah garis dalam A sebanyak 12 garis,kalau dihilkangkan 10 maka sisa garis dalam A ada 2,,akibatnya graf A bukan graf Hamilton.

b. Graf C( Graf kedua) ternyata memiliki 21 titik,40 garis,dengan 10 titik berderajat 5,dan 1 titik berderajat 10. maka harus dihilangkan 38 garis agar menjadi graf Hamilton,,sementara jumlah garis dalam Graf C ada sebanyak 40 gari,jika dihilangkan 38 garis maka hanya tersisa 2 garis,akibatnya graf C bukan merupakan graf Hamilton.

5. a. Sebuah graf G = (V,E) disebut graf planar apabila graf tersebut dapat digambarkan dalam sebuah bidang datar tanpa ada sisi/edge yang saling berpotongan (kecuali sisi sisi berpotongan pada sebuah verteks).


Contoh Graf Planar

 

Graf yang termasuk planar antara lain :

• Tree / Pohon

• Kubus

• Bidang Empat

• Bidang Delapan Beraturan

b. Pohon Rentangan(Spanning tree)

Suatu pohon rentangan atau spanning tree adalah suatu subgraf dari graf G yang mengandung

semua simpul dari G dan merupakan suatu pohon.

Contoh :

Graf G

 

Spanning Tree Graf G

       

 

1.      Untuk mencari ukuran dari G kita dapat menggunakan rumus :

 = jumlah titik

 = jumlah garis

 , n terendah berniai 2

 buah garis

  jadi ukuran minimal dari G adalah 1

3.   karena pada rumus yang tertera di atas yaitu n(n-1) akan bernilai lebih besar dibandingkan dengan rumus n(n-2), n(n-3)...........+3+2+1= n(n-1)

Sebagai cotoh kita ambil nilai n = 4

Maka kita substitusikan nilai n ke persamaan : n (n-1)

                                                                                Maka: 4(4-1)=12

Kita bandingkan dengan memasukkan nilai n pada persamaan : n(n-2)

                                                                                                                Maka : 4(4-2)=8

Disini kita telah dapat membuktikan bahwa nilai n , akan maksimum pada rumus n(n-1)